Клара Кисенкова родилась 30 июля 1944 года в Хабаровском крае в семье военного. В 1947 году она вместе с родителями переехала в Южно-Сахалинск, где окончила школу. После этого Клара Константиновна получила образование в местном педагогическом училище, а затем — в Дальневосточном педагогическом институте искусств во Владивостоке. Закончив его в 1965 году, Клара Кисенкова поступила в труппу Сахалинского международного театрального центра имени Чехова, где служила всю свою жизнь.
Сахалинские зрители любили Клару Константиновну за безграничную искренность и уникальную способность полностью проживать жизнь каждого из героев, чьи роли она исполняла на сцене. Актриса за 57 лет работы в Чехов-центре воплотила в жизнь более 300 образов и создала несколько спектаклей как режиссер-постановщик. За плечами Клары Кисенковой — совместная работа и с японскими театралами, воплотившаяся в спектакле «Журавлиные перья».
Активная творческая и общественная деятельность Клары Константиновны не осталась без признания. В 1976 году ее наградили орденом Трудового Красного Знамени, в 1982 году присвоили звание заслуженной артистки РСФСР, а в 1987 году — звание народной артистки РСФСР. В 2002 году Клара Кисенкова стала почетной жительницей Южно-Сахалинска. В декабре 2014 года ее наградили нагрудным знаком «За достижения в культуре», а в 2016-м Кисенкова стала лауреатом специальной премии «Золотая маска» в номинации «За выдающийся вклад в развитие театрального искусства».
Будучи профессионалом своего дела и невероятно талантливой актрисой, Клара Константиновна была в то же время добрым другом и мудрым наставником для коллег, любящей матерью и бабушкой. Она пользовалась огромным уважением в коллективе и была авторитетом для молодых служителей театра.
Коллектив Чехов-центра выражает близким и родным Клары Кисенковой глубокие соболезнования в связи с ее безвременной кончиной. Также сочувствие семье покойной выразили губернатор Сахалинской области Валерий Лимаренко и мэр Южно-Сахалинска Сергей Надсадин.